ピタゴラスの定理を使って、良い比率の三角形を無限に生み出す

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ピタゴラスの定理(または三平方の定理)は、誰もが小学生や中学生の頃から知っている馴染み深い定理だろう。
ピタゴラスの定理を使って「3対4対5」など三辺の比がキリの良い数字になる三角形を手軽に作る方法を紹介する。

ピタゴラスの定理とは

上のような直角三角形があるときに

\(a^2+b^2=c^2\)

が成り立つという定理である。
また、自然数である(a, b, c)の組をピタゴラス数という。

証明

大きい正方形の面積を、二通りの式で表すと

\((a+b)^2=a×b×1/2×4+c^2\\
a^2+2ab+b^2=2ab+c^2\\
a^2+b^2=c^2
\)

以上によりピタゴラスの定理が示された。

いろんな三角形の辺の長さの比率を見てみる

\(3^2+4^2=5^2 \\
1^2+\sqrt{3}^2=2^2 \\
1^2+1^2=\sqrt{2}^2 \\
5^2+12^2=13^2
\)

などの式が表す三角形が有名だろう。

また、自分でピタゴラス数を見つけるのは難しいということに気が付くかもしれない。
例えば、ランダムに\(a=7, b=11\)などと選べば、\(c=\sqrt{170}\)となる。この実験を繰り返してみてもなかなか全てが自然数の場合に辿り着くことはない。

ピタゴラス数を見つける

三つの自然数がピタゴラス数になる条件を求める。
また、(3, 4, 5)という組と(6, 8,10)という組は比率が同じなので、既約なピタゴラス数を見つけることにする。つまり、もうこれ以上同じ数で割り切れないピタゴラス数を見つける。

sとtを互いに素な奇数として(\(s>t\)とする。)
\(a=st, b=\frac{s^2-t^2}{2}, c=\frac{s^2+t^2}{2}\)
と置けば、これは\(a^2+b^2=c^2\)を満たす。
実際、
\begin{align}
a^2+b^2 &= s^2 t^2+\frac{s^4-2s^2 t^2+t^4}{4} \\
&= \frac{s^4+2s^2 t^2+t^4}{4} \\
&= c^2
\end{align}
となる。

逆に、三つの自然数が既約なピタゴラス数になる時は、\(a=st, b=\frac{s^2-t^2}{2}, c=\frac{s^2+t^2}{2}\)となるようなsとtがある(どちらも互いに素な奇数で\(s>t\))ことが言える。(既約ピタゴラス数の定理、証明は略)

具体的に三角形を作り出してみる

\(t=1\)と置くと\(a=s, b=\frac{s^2-1}{2}, c=\frac{s^2+1}{2}\)となるが、これが全てのsについて成り立つから、sに3, 5, 7, 9,…を代入していくと、

\(3^2+4^2=5^2 \\
5^2+12^2=13^2 \\
7^2+24^2=25^2 \\
9^2+40^2=41^2
\)

このようにbとcの差が1となる三角形が無数に得られる。

\(t=3\)の時は\(a=s, b=\frac{s^2-9}{2}, c=\frac{s^2+9}{2}\)となるので、sに5, 7,11,13,…を代入すると、

\(15^2+8^2=17^2 \\
21^2+20^2=29^2 \\
33^2+56^2=65^2 \\
39^2+80^2=89^2
\)

tに5, 7, 9,…を代入した場合も同様にピタゴラス数を求めていくことが出来る。

最後に

以上の方法を用いると、全ての既約なピタゴラス数を見つけることが出来るのだが、特にt=1の時の\(a=s, b=\frac{s^2-1}{2}, c=\frac{s^2+1}{2}\)を用いると、手軽にピタゴラス数を生み出すことが出来る。
好きな奇数を一つ選び、その奇数を二乗して1引いて2で割った数と、その数に1を足した数を求めれば良いのだ。例えば13を選ぶとしたら、\(13^2-1=168, 168÷2=84, 84+1=85\)より(13, 84, 85)がピタゴラス数となる。
こんなに簡単にピタゴラス数が作れるのは感動に値する!

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