4.26から4.29 群の作用とシローの定理

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勉強記録としてブログに記事を残すと言ったが、そのことに関して少し方針を変更する。

つまり毎日記事にするのではなく、ある程度の期間でまとめて一つの記事にしようと思うのだ。
というのも、毎日ブログを更新することによって、僕のブログが勉強記録で溢れかえってしまうのではないかという危惧があるからである。
勉強記録でない記事ももっと更新できたらいいのだが、なかなか叶わない。

今回の場合は一週間の勉強をまとめて更新する。期間は今は一週間にしているがこれからは二週間になるかもしれないし、一ヶ月になるかもしれない。
記録の方法はある程度柔軟に変更していこうと思う。

またアイキャッチ画像に書いてある言葉は、記録している期間に勉強している中で、大切だと思ったことや実感したことであり、勉強記録を羅列しているだけでは面白みに欠けるので最初にこの言葉の説明をしようと思う。
先に言っておくと、これは今回だけの試みか、継続できるかはわからない。

 

証明しろ

数学の勉強をしていると、何やらいろんな定理が出てくる。このとき、証明の方法は無視して定理の使用方法を覚えるに留めるのか、それとも証明を逐一辿って、定理を完全に理解するのかという二通りのアプローチが考えられる。

どちらを選択するべきだろうか

高校時代まで、僕は証明を出来ないならば理解していないも同然だと思い、逐一証明を辿っていた。新たな定理が出て来たら、証明をしてから具体例に適用するという具合である。

ただ、大学の数学になると、抽象度が高くなるので、それをすると全然先に進めないし、証明の理解自体もぼやっとしているのではないかと思う。

思うに、先ずは証明の方法は無視して、定理の使用方法を理解するというのがより良い選択なのではないかと思う。
具体的な例に対して定理を適用するというのは心踊る瞬間であるし、実例を使うことによって、定理の本質が見えやすくなると感じるからである。

ここからが今週の勉強で改めて感じたことであるが、

やはり、証明はしたほうがいい。

そして、それは定理の使用方法を理解した後の方がいいのだ。

証明を厳密にたどることは時間がかかるし、体力も使う。
ただ、それと引き換えになるくらいには本質的な理解ができてスッキリする。

定理の使用方法を理解することは誰にでもできる。
それは言わば英単語を覚えることのようで、英語のことをわかった気になれるように数学のことをわかった気になる。

定理の証明をたどるのは骨が折れる作業だ。
それは英語の文法を覚えることのようで、文の構造を理解するには役立つが、こればかりしても英語が使えるようにはならない。

今日の話は、英語を勉強するときは単語をまず詰め込んで、文法は後々に勉強していきましょうと言っているようなものだ。

加えて、単語を覚える行為と文法を理解する行為との間には、実際に話すことが何よりも大切だと思うが、それは定理を実際に使うこと、つまりは演習問題を解くことに対応している

英語の勉強方法と数学の勉強方法にこれほどの対応があるとは自分でも驚きだ。
数学と英語の勉強に限らず、何にしてもこのような対応は見られるので、ぜひ自分自身の話に置き換えてこの話を吸収していただければと思う。

話が少しずれたが、定理の使用方法を覚えるという誰でも出来る作業の先に、証明方法までたどるという高みがあることを忘れてはいけない

そして完全に理解できていない定理は、いつかまた自分の力で証明しなければならない。

 

4.26 勉強記録

16時55分 図書館にて勉強開始
18時30分 お腹がなるので晩飯
19時20分 勉強再開
19時45分 疲れたので終了

合計勉強時間 3時間0分

 

進んだ量

4章の演習問題が15分の1ほど進んだ。4章は演習問題が多い

 

学んだこと

群の作用に関する基礎的な問題を演習した。

 

4.27 勉強記録

16時45分 図書館にて勉強開始
17時50分 疲れたので休憩
18時55分 寝すぎた後、再開
20時05分 食堂が閉まるので中断
20時35分 満腹になって再開
22時15分 終了

合計勉強時間 3時間55分

 

進んだ量

4章の演習問題を10分の1ほど進めた。後半からはそこそこ集中できた。

 

学んだこと

対称群の性質について学んだ。特に、対称群の型が等しいことと共役であることが同値であるということを知って驚いた。
今までは対称群の演算についていまいち不明確であったが、より深く理解できるようになった。

 

4.28 勉強記録

14時25分 図書館にて勉強開始
15時15分 疲れたので休憩
17時40分 勉強再開
19時20分 晩飯
19時50分 勉強再開
20時35分 勉強終了

合計勉強時間 3時間15分

 

進んだ量

4章の演習問題を10分の1ほど解いた。序盤は集中できなかった。

 

学んだこと

シローの定理の基本的な使い方。正規部分群の存在を示すことができるのがすごいと思った。
可解群、べき零群についての理解がまだまだだと思った。定義は理解できるが、いまいち使えない。

 

4.29 勉強記録

10時15分 図書館にて勉強開始
14時20分 勉強終了

合計勉強時間 4時間5分

 

進んだ量

4章の演習問題を10分の1ほど解いた後、シローの定理の証明を追っていた。

 

学んだこと

シローの定理の証明を厳密に理解できた。

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