計算を5倍速くする裏技集

2016.12.06
数学

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少し使うだけで計算が速くなるコツをまとめた。

まず、以下の計算をしてみてほしい。
\(196+1655\\
1200-398\\
44×98\\
44×46\\
820÷5\)

何秒かかっただろうか。暗算は難しいかもしれない。しかしこれらは全て暗算で速く答えを求めることができるようになるだろう。

1. 足し算編
- 1.1. 練習問題
2. 引き算編
- 2.1. 練習問題
3. 掛け算編
- 3.1. うまく10を作り出せ
  - 3.1.1. 練習問題
- 3.2. 分配法則をマスターせよ
4. 割り算編
- 4.1. 練習問題
5. まとめ

足し算編

スーパーに行ってお買い物をする時の話である。
色々買った末にレジに向かう。
298円と398円と498円と598円の品物だ。

ここで\(298+398+498+598\)を計算することを考えよう。
電卓や筆算を使ってもいいのだけど、このぐらいは頭を使えば誰でも暗算でできるだろう。
298円というのは300円を払うと2円のお釣りがくる値段である。
なにが言いたいかというと、買った品物は、
300円、400円、500円、600円を払うとお釣りが2円返ってくる品物だ。
つまり、\(298+398+498+598\)というのは\(300+400+500+600-2×4\)と変形できるわけだ。
あとは\(300+400+500+600\)を暗算で計算して、そこから8を引けば答えである！

大切なことは、
「もう少しでキリが良くなる数字はいっそキリを良くしてしまえ。」
ということである。

例えば1998年生まれの人が65歳になるのは西暦何年の誕生日だろうか。
これは1998+65を計算すれば求めることができる。
さっきと同様に、2000+65を計算した後に2を引けば良い。
答えは2063である。
2000年生まれの人が65歳になるのは西暦2065年だから、その2年前に生まれている人が65歳になるのは2063年だろうという考え方である。

練習問題

196+1655

49990+3266

29900+19000+4444

引き算編

引き算のコツは足し算と全く一緒である。
つまり、「もう少しでキリが良くなる数字はいっそキリを良くしてしまえ。」である。

\(5432-999\)を計算する。
\(5432-1000\)をした後に、引きすぎた1を足せば良いから、
\(4432+1\)で4434となる。

練習問題

1024-499

10000-399-397-595

掛け算編

掛け算のコツは大きく二つに分けることができる。
・うまく10を作り出せ。
・分配法則をマスターせよ。
この二つである。

うまく10を作り出せ

38×5を計算するときに、うまく10を作り出してみる。
つまり、38は19×2であるから、19×2×5を計算すれば良い。
2×5=10を先に計算すれば、答えは190だとわかる。

25×432を計算する。
25は5×5なので、2を2回かけると100になることがわかる。
432から25に2を2つ渡すと、432は108になって25は100になる。これより、答えは10800となる。

55×42の場合、110×21となり、2310が答えである。
11をかける計算方法にはコツがある。11を10+1に分けると良い。
21×11は210+21で231である。
31×11=341、41×11=451、34×11=374の百の位や一の位はどうなっているだろうか。また、十の位の法則性に気付けるだろうか。

練習問題

125×816

35×14

分配法則をマスターせよ

8×98を考える。98=100-2なので、\(8×98=8×(100-2)=800-16=784\)となる。
同様に、\(95×99=9500-95=9405\)である。

次に31×29を計算する。
分配法則より\(31×29=(30+1)×(30-1)=30^2-1^2=899\)となる。
同様に\(82×78=80^2-2^2=6396\)である。

ここで大切なことは、平方数をいかに速く求めることが出来るかということである。
二桁の平方数を求めるコツは沢山ある。有用な幾つかの例を紹介する。

一の位が5の数の平方数

\(15^2=225\\
25^2=625\\
35^2=1225\\
45^2=2025\\
55^2=3025\\
65^2=4225\\
75^2=5625\\
85^2=7225\\
95^2=9025\)

規則性に気づくことが出来るだろうか。
まず、下二桁は全て25である。そして、それ以外の数に注目すると、2, 6, 12, 20, 30, 42…と続いていく。この数字は連続する二数の積を表している。つまり、1×2, 2×3, 3×4, 4×5, 5×6, 6×7…となっているのである。この法則によって、例えば65^2を計算する時、6×7=42を計算するだけで答えは4225という風に求めることが出来るのである。

この法則は分配法則によって導かれるものである。\(65^2\)の場合を考えてみよう。
\((60+5)×(60+5)=60×60+60×10+25=60×70+25=4225\)
以上のようになり、先程の法則が導き出されていることがわかる。

40から60の平方数

40から60までの数を二乗した結果を下に載せる。

\(41^2=1681\\
42^2=1764\\
43^2=1849\\
44^2=1936\\
45^2=2025\\
46^2=2116\\
47^2=2209\\
48^2=2304\\
49^2=2401\\
50^2=2500\\
51^2=2601\\
52^2=2704\\
53^2=2809\\
54^2=2916\\
55^2=3025\\
56^2=3136\\
57^2=3249\\
58^2=3364\\
59^2=3481\)

気がつくだろうか。この鮮やかな対称性に！
これも下二桁と上の二桁に分けて考えると、上の二桁は１ずつ増えているし、下二桁は0から9の平方数になっているのである。分配法則によってこの対称性を導き出そう。
\(53×53=(50+3)×(50+3)=(25+3)×100+3^2=2809\\
46×46=(50-4)×(50-4)=(25-4)×100+4^2=2116\)
このようになっているのである。
例えば46の平方数の場合は、46と50が4つ離れているから25-4=21, \(4^2=16\)より2116が答えである。
このように計算すると一瞬にして答えが求まるのである。