有限体の基本的な性質まとめ。標数や要素数について

定理1

\(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)は体である。

証明

任意の\(\{1,2,…,p-1\}\)の元aを一つとる。\(a*b=1\)となるようなbがもしなければ\(a*c=a*d\)となるような異なる2つの数c, dがあるはずである。\(a*(c-d)=0\)となるが、p\(\mathbb{Z}\)上でpは素元であるから\(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)が整域であることがわかるのでこれは矛盾である。よって\(a*b=1\)となるbは存在する。よって\(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)は体である。

命題2.1

Fを有限体とする。ある素数pが存在し、Fの加法に関する単位元の整数倍で構成される集合はFの部分体となり\(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)と同型になる。

証明

Fの加法に関する単位元をeと置く。写像\(\phi: \mathbb{Z} \to F \)を\(n \mapsto ne\)で定める。この写像\(\phi\)は準同型写像になる。\(Im\phi\)は有限部分環で整域になっている。

fは単射ではないので\(Ker \phi\)はゼロイデアルではない。ZはPIDなので\(Ker \phi\)は単項イデアルであり、\(\mathbb{Z}/Ker \phi\)も整域となることから、\(Ker \phi\)が素イデアルであることがわかる。
よってある素数pが存在し\(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \cong Im \phi \subset F\)が示された。

命題2.2

標数pは\(p*1=0\)となる自然数のうち最も小さいものである。

証明

pより小さい素数\(p’\)で\(p’*1=0\)となることは、命題2.1より\(Ker \phi=p\mathbb{Z}\)であることに矛盾する。また、\(p*1=0\)である。

定理2

標数pの有限体Fの任意の元\(\alpha\)に対して、\(p\alpha=0\)となる。

証明

\(\alpha=1*\alpha\)であることから、\(p\alpha=p*1*\alpha=0\)となる。

定理3

\((\alpha+\beta)^p = \alpha^p+\beta^p\)

証明

展開すると、\(\alpha^p, \beta^p\)以外の項は全て係数が二項係数\({p \choose k} (k = 1,…,p-1)\)となるが、これらは全てpを因数に持つ。よって定理2から全て0となる。

定理4

有限体Fの任意の元\(\alpha\)について\(\alpha^m = \alpha\)が成り立つ。

証明

\(\alpha = 0\)の時、明らかに成り立つ。

体Fから0を除いた集合F*は循環群になることを示す。
\(\psi(d)\)をF*の元で位数がdの元の数とすると、\(\sum_{c|d}\psi(c)=d\)となり、メビウスの反転公式から\(\psi(d)=\phi(d)\geq1\)となるからである。ここで\(\phi(d)\)はオイラーの\(\phi\)関数である。

よってF*には位数\(m-1\)の元が存在する。よってF*は循環群である。
要素数m-1の循環群の任意の元\(\alpha\)は\(\alpha^{m-1}=1\)となるので、\(\alpha^m = \alpha\)である。

命題5.1

体Fの標数をpとする。この時、Fは\(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)上のベクトル空間である。

証明

pが素数の時、\(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)が体であることは示した。

\(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)の元を\(\{0,1,…,p-1\} \subset \mathbb{Z}\)の元に対応づける写像を\(\phi(x)\)とおく。この時\(a \in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)によるスカラー倍を任意の\(\beta \in F\)に対して\(\phi(a)\beta \in F\)と定義する。

この定義によってベクトル空間の公理を満たすことを示す。特にスカラー倍に関する公理をここで示す。

\(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)の任意の2つの元\(a, b\)と任意の\(\beta \in F\)に対して
\(\phi(a + b)\beta = \phi(a)\beta + \phi(b)\beta\)であることは、\(c = a+b\)とおいた時にある整数nが存在して\(\phi(a)+\phi(b)-\phi(c)=np\)となり、定理2より\(\phi(a + b)\beta – \phi(a)\beta + \phi(b)\beta = np\beta = 0\)となることから従う。
同様に\(\phi(a)(\phi(b)\beta) = \phi(ab)\beta\)も成り立つ。

以上よりFが\(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)上のベクトル空間であることがわかる。
以降スカラー倍を\(\phi(a)\beta\)ではなく\(a\beta\)のように略して書く。

定理5

Fが有限体なら要素数はある素数pとある自然数nを用いて\(p^n\)と表される。

証明

任意のベクトル空間は基底を持つことがツォルンの補題から証明される。
よって、例えば基底を\(\omega_1, \omega_2,…, \omega_n\)とおくと、Fの任意の元は\(a_1\omega_1+a_2\omega_2+…+a_n\omega_n\)と表され、Fの元と1対1対応する。ただしここで基底の取り方によらずにベクトル空間の次元nは一意に定まる。
\(a_1,…,a_n \in\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\)よりFの要素数は\(p^n\)となる。

命題6.1

\(f(x) \in F[x]\)が既約多項式の時、\(K=F[x]/(f(x))\)は体になる。また自然な写像\(\phi: F[x] → K\)に対しφ(x) = \(\alpha\)とおきf(x)の次数をnとおいた時に、KはF上のベクトル空間となり\(1,\alpha,…,\alpha^{n-1}\)はその基底となる。

証明

F[x]はPIDである。f(x)は既約多項式なので\((f(x))\)は極大イデアルとなる。よってKは体となる。
\(1,\alpha,…,\alpha^{n-1}\)はKを構成する。

また、\(a_0+a_1\alpha_1+…+a_{n-1}\alpha _{n-1}\)となるような任意の\(a_0,…,a_{n-1}\)に対し、\(g(x) = a_{n-1}x^{n-1}+…+a_0\)と置くと\(g(\alpha) = 0\)となる。

\(g(x)\neq0\)の時、\(f(x), g(x)\)は互いに素なので\(p(x)f(x) + q(x)g(x) = 1\)となるような\(p(x), q(x)\)が存在する。これより\(p(\alpha)f(\alpha) + q(\alpha)g(\alpha) = 1\)が得られる。しかしこれより\(0=1\)が導かれる。よって\(g(x)=0\)つまり\(a_0,…,a_{n-1}=0\)となる。

よって\(1,\alpha,…,\alpha^{n-1}\)は線型独立である。

命題6.2

\(x^{p^n}-x = \prod_{d|n} F_d(x)\)

証明

まず\(x^{p^n}-x\)は\(f(x)\)で割れた場合、\(f(x)^2\)で割れないことがまず示される。

次に\(f(x)\)を次数dのモニックな既約多項式だとすると、\(f(x)|x^{p^n}-x\)と\(d|n\)が同値だということがわかる。

命題6.3

\(p^n = \sum_{d|n} dN_d\)

証明

命題6.2において次数に注目すれば求まる。

定理6

任意のp, sについて\(p^s\)個の元がある体が存在する

証明

メビウスの反転公式より、メビウスの\(\mu\)関数を使うと、

\(N_n=n^{-1}\sum_{d|n}\mu(n/d)p^d\)

となる。よって\(n\geq1\)の時、\(N_n \geq 1\)である。つまり、任意のnについてn次の既約多項式は存在する。
よって命題4より、任意のp, sについて\(p^s\)個の元を持つ体が存在する。